転生という言葉を聞いたことがあるだろうか？
輪廻転生が正しい言葉であるが、ひとまずそれは置いておく。
漫画やアニメや小説で目にする言葉である。
どうしてそんなことを言っているのかと言うと
「お前、転生させるわ」
男か女か、子供か大人かも分からない声質と姿を持った存在が、いきなり俺の目の前でそんなことを言ってきた。
「お、おう」
「戸惑うのもわかるが、あまり時間をかけると魂が転生できなくなってしまう。さっさと特典を1つだけ決めてくれ」
「あぁ、神様転生みたいな感じか。でも、どこに行くんだ？」
「問題児たちが異世界から来るそうですよ？だ。早くしてくれ」
問題児たちが異世界から来るそうですよ？とは、日本のライトノベルの一つである。
アニメは一通りは見たが、原作知識は皆無。
原作知識は欲しいが、特典は一つだけ。
確か、バトルが多かった記憶があるし、巻き込まれてもいいようにしておくか。
「じゃあ、数学の無限集合論を使って殴る！」
「それはお前さんの肉体が持たないからやめておけ。徐々に慣らしていけば大丈夫なんだがな」
ちくしょう。
そう上手くはいかない。
つまり、最初から無限だと体が持たないわけだ。
ちなみに語弊はあるが分かりやすく言うと、無限集合論とはこの無限Aはこの無限Bより大きいな、とできる学問である。
あ、ならあれがあるじゃん。
「数学の急増加関数のレベル0出発で、戦闘とかゲームを終わらせる度にレベルアップする。そして殴る！あ、関数の中の変数が自分本来の戦闘力で、計算された値が新たな”力”になるってことで」
「まぁ、それならいけるぞ」
「よし！」
急増加関数は現在の巨大数論において、巨大数の物差しとして使われる関数である。
その関数にはレベルがあり、レベル0の状態だと以下のようになる。
f_0(x) = x + 1
ただの足し算である。
中学生レベルで式を書けば
y = x + 1
みたいな感じだ。
だから、自分の戦闘力が5だとすると
f_0(5) = 5 + 1 = 6
と新たな力が6にしかならない。
弱いと思うかもしれないが、この関数は成長するのが特徴でf_1(x)やf_2(x)になれば、さらに強い関数に変わっていく。
つまり、ゲームや戦闘が終わるごとに俺は徐々に強くなっていくというわけだ。
最初は最弱だけど、最強の潜在能力を持っているといっていいだろう。
「じゃあ、行ってこい。ついでにお前の元々の戦闘力は3だから」
「え？」
こうして俺、
これ、死ぬんじゃね？
重力に従い自由落下していき、湖に叩き落される。
そこで俺の意識は途絶えた。
「し、信じられないわ！ まさか問答無用で引き摺り込んだ挙句、空に放り出すなんて！」
「右に同じだクソッタレ。 場合によっちゃあゲームオーバーコースだぜコレ。石の中に呼び出された方がまだマシだぞ」
「・・・いえ、石の中に呼び出されたら動けないでしょう？」
「俺は問題ない」
「そう。身勝手ね。……あら？もう一人男性がいたと思ったのだけれど……」
「もしかして、あれか？」
湖にぷかぷかと浮かんでいる人が見える。
しかも、ピクリとも動かない。
「死んでるんじゃないでしょうね！？助けに行くわよ！」
「ちっ。どうせなら美少女を助けたかったぜ」
「変なこと言ってないで早く！」
「へいへい」
男は2人に無事救出され、陸にまで運ばれる。
かすかに胸が上下しており、生きていることがうかがえた。
「その人大丈夫そう？」
「ニャー」
「胸が上下していて安定した呼吸がある。まあ、目立った外傷はないから大丈夫だろ。内傷があるかは分からないけどな」
「でも、外傷がないなら一安心ってところね」
一同はホッと胸をなでおろした。
しかし、このまま放っておくわけにもいかないのも事実。
「仕方ない。そこに隠れてるやつ、さっさと出てこい。安全な場所に寝かせたいから道を教えろ」
「あら？あなたたちも気づいていたのね」
「当然、かくれんぼじゃ負けなしだぜ？」
「風上に立たれたら嫌でもわかる」
「へえ？ 面白いなお前」
黒い影はそそくさと飛び出し姿を現した。
それは、明らかにバニーガールのコスプレ美女にしか見えず
「「「うわあ」」」
一同は少しだけ引いていた。
「その方は大丈夫なんですか！？」
「ああ。目立った外傷もなければ、呼吸も安定している。ひとまず命に別状はないと言っていい」
「よかった。近くに我々のコミュニティがありますから、そこに寝かせましょう」
「うーん」
「！待って！意識が戻りかけてるみたいよ」
「本当ですか！？」
だんだんと意識がはっきりしていくのが分かる。
そして、意識がうっすらと戻ったとき、初めに目にしたのはうさ耳をつけた美女だった。
「……ここは？」
「意識が戻られたんですね！ これ分かりますか？」
「１」
「これは？」
「２」
「これは？」
「４」
「意識は安定していそうですね」
俺はゆっくりと立ち上がろうとする。
まだ、上手く力が入らない。
「意識を取り戻したばかりなんですから安静にしてないとダメですよ！」
「すまん」
俺は言われる通り、立ち上がるのをやめ、体育座りで地面に尻をつける。
少しずつここに来るまでのことを思い出していた。
「せっかく目を覚ましたので自己紹介といきましょうか。私は黒うさぎと申します」
「私は久遠飛鳥。そちらの猫を抱きかかえている貴方は？」
「私は春日部耀。こっちは三毛猫」
「ニャー」
「そう、よろしく春日部さん。野蛮で凶暴そうなあなたは？」
「高圧的な自己紹介をありがとよ。見たまんま野蛮で凶暴な逆廻十六夜です。粗野で凶悪で快楽主義と三拍子そろった駄目人間なので、用法と用量を守った上で適切な態度で接してくれお嬢様」
「そう、取扱説明書をくれたら考えてあげるわ、十六夜君」
「ハハ、マジかよ。今度作っとくから覚悟しとけ、お嬢様」
「そして、最後に意識を取り戻した貴方は？」
「俺は宇居一。か弱い人間だから優しく接してくれると助かる」
「考えておくわ」
やべえよ。
いきなり、なんかアニメとは違う展開なんですけど。
たぶん、俺がいるせいなんだけど、これは原作やアニメみたいに進まない可能性が出てきたな……。
しかも、今気づいたけど、何気に急増加関数のレベルが1上がってるんですけど！
嬉しいけど、どこぞのサ○ヤ人か俺は！
しかも、頼んではない感じで上がってるから、これは転生させてくれた神？のおまけかな？
ちなみに、急増加関数レベル1は次のように定義されている。
f_1(x) = (f_0)^x(x)
どういうことかというと
例えば(f_0)^2(x) = f_0(f_0(x)) = (x + 1) + 1 = x + 2
(f_0)^3(x) = f_0(f_0(f_0(x))) = x + 3
以上より一般化すると
(f_0)^x(x) = f_0(f_0(f_0(……))) ←f_0(x)の中に（x-1）個だけf_0(x)が入ることになる。
つまり(f_0)^x(x) = x + x = 2x = f_1(x)となる。
俺本来の戦闘力が3だと言っていたから
f_1(3) = 2 * 3 = 6
ということになる。
弱い（確信
「黒ウサギさん……だったかな？」
「黒ウサギと呼び捨てでかまいませんよ」
「じゃあ、黒ウサギ。俺は右も左も分からないし、ここがどこか説明してほしいんだけど」
「あ、申し訳ございません！ 慌てていたものですっかり忘れていました。 ゴホン。
それでは、皆様方。ようこそ、〝箱庭の世界〟へ！我々は皆様にギフトを与えれた者達だけが参加できる『ギフトゲーム』への参加資格をプレゼントさせて頂こうかと召喚いたしました！」
「ギフトゲーム？」
「そうです！既に気づいていらっしゃるでしょうが、皆様は全員、普通の人間ではございません！その特異な力は様々な修羅神仏から、悪魔から、精霊から、星から与えられた恩恵でございます。『ギフトゲーム』はその〝恩恵〟を用いて競いあう為のゲーム。そしてこの箱庭の世界は強大力を持つギフト所持者がオモシロオカシク生活出来る為に造られたステージなのでございますよ！」
正直、たぶん俺に関しては無茶苦茶よわいんだけど……今は。
能力使っても力が6だぜ？
ドラゴ○ボールで例えると、銃を持ったおじさんより強いくらいだぜ？
まあ、この戦闘力がドラ○ンボールと同じとは限らないし？もしかしたら力6がゴールデンフ○ーザレベルかもしれないし？
いや、やめておこう。フラグを立てるだけだ。
「まず、初歩的な質問からしていい？ 貴方の言う〝我々〟とは貴方を含めただれかなの？」
「YES！ 異世界から呼び出されたギフト所持者は箱庭で生活するにあたって、数多とある〝コミュニティ〟に必ず属していただきます」
「嫌だね」
「属していただきます！ そして『ギフトゲーム』の勝者はゲームの〝主催者ホスト〟が提示した賞品をゲットできるというとってもシンプルな構造となっております」
ギフトゲームかあ。
ちょっとでも多くやらないと俺はレベル上げられないから、ちょっと面倒だ。
レベルが上がれば上がるほど強くはなるんだけど……あれ？そういえばレベルωはどういう条件なんだろうか？
詳しい説明は省くが、ωとは最初の超限順序数であり、厳密ではないが簡単にいうと一番小さい無限のことである。
「・・・〝主権者〟ってなに？」
「様々ですね。暇を持て余した修羅神仏が人を試すための試練と称して開催されるゲームもあれば、コミュニティの力を誇示するために独自開催するグループもございます。
特徴として、前者は自由参加が多いですが〝主権者〟が修羅神仏なだけあって凶悪かつ難解なものが多く、命の危険もあるでしょう。しかし、見返りは大きいです。〝主権者〟次第ですが、新たな〝恩恵〟を手にすることも夢ではありません。後者は参加のためにチップを用意する必要があります。参加者が敗退すればすべて主権者のコミュニティに寄贈されるシステムです」
「後者は結構俗物ね・・・チップには何を？」
「それも様々ですね。金品・土地・利権・名誉・人間・・・そしてギフトを賭けあうことも可能です。新たな才能を他人から奪えばより高度なギフトゲームに挑む事も可能でしょう。ただし、ギフトを賭けた戦いに負ければ当然――――ご自身の才能も失われるのであしからず」
確か試練は『力』『勇気』『知恵』のどれかを試すのだったか。
『力』に関しては今は無理ゲーだから、やるなら『勇気』か『知恵』だ。
「そう。なら最後にもう一つ質問させてもらってもいいかしら？」
「どうぞどうぞ♪」
「ゲームそのものはどうやったら始められるの？」
「コミュニティ同士のゲームを除けば、それぞれの期日内に登録していただければOK!商店街でも商店が小規模のゲームを開催しているのでよかったら参加していってくださいな」
「・・・つまり〝ギフトゲーム〟とはこの世界の法そのもの、と考えてもいいのかしら？」
「ふふん？なかなか鋭いですね。しかしそれは八割正解の二割間違いです。我々の世界でも金品による物々交換は存在しますし、ギフトを用いた犯罪などもってのほかです・・・が、しかし！ “ギフトゲーム〟の本質は全くの逆！一方の勝者だけが全てを手にするシステムです」
「そう、なかなか野蛮ね」
「ごもっとも。しかし“主催者〟は全て自己責任でゲームを開催しております。奪われるのが嫌なら初めから参加しなければいいだけの話でございます」
要約すると『勝てばよかろう、それがすべてだ！』という感じだろうか。
もちろん、不正をしない範囲内で。
「一度ゲームをしましょうか」
「でも、私たちは賭けられるようなものは持ってないわよ？」
「今回はサービスで何も賭けなくて結構です。あえて言うなら、プライドを賭けていただくことになりますね」
俺はそこですかさず手を挙げた。
「はい！質問があります」
「何でしょうか？」
「問題は選べますか？」
「そうですね……今回は『知恵』を題材にゲームを用意したいのですが、特別に『知識』を問うゲームでも良しとしましょうか」
「よし！なら数学の知識がいい！」
「他のお三方はどうでしょう？」
「知恵でかまわないぜ」
「私も」
「以下同文」
「ニャー」
正直、知恵なんて自信がないものよりも、転生前に好きだった数学の方が勝機がある。
とは言っても大学は数学科ではないし、成績もあんまりよろしくなかったんだけどね。
偏差値的には3流大学くらいがやっとだったし。
「では、知恵の方から行きますね。お題はトランプ。今からトランプを裏向きで並べます。ジョーカーを含まない52枚のトランプの内、絵札だけをとってください」
「オーケー。だが、ゲームを始める前にトランプに細工をしてないか確かめさせてもらおうか」
「構いませんよ。あと、言い忘れましたがトランプに細工や不正行為が発覚した場合、即座に失格になるのでお気を付けください」
黒ウサギは躊躇なく十六夜にトランプを渡した。
これは、黒ウサギが不正をしていないということを信じさせるためのものかな？
「それでは一さん。後ろを向いたままで悪いのですが、問題を出させてもらってもよろしいですか？」
「ああ、気にしないで。それで、問題は？」
「ありがとうございます。では、問題。『0は自然数は含まれるか？』」
その問題を言った瞬間、3人の視線は一同にこちらを向いた。
表情を見るに、なんだその簡単な問題は？という感じだろう。
俺だってそう思う。
知らない人にとってはひっかけ問題ではあるが、知っているので問題ない。
もしかしたら、飛鳥や耀は勘違いしてる可能性があるかもしれないけど。
答えは
「『0は自然数に含んでもいいし、含まなくてもいい』だ」
「「え？」」
やはり、女性二人は勘違いをしていたのか。
「私は家庭教師に『自然数は0を含まない1、2、3……という数字』とならったわよ！」
「それは高校数学までの話だ。大学数学では『0は自然数に含んでも良い』事になってるんだよ」
「どうしてそうなったのよ！？」
「えーと、自然数を集合論で説明するとき0は空集合であると定めたんだ」
0 ＝ Φ
「すると、1という数は0の集合、つまり空集合の集合ということになる」
1 ＝ ｛0｝ ＝ ｛Φ｝
「そして2という数は0と1の集合、つまり空集合と空集合の集合の集合ということになる」
2 ＝ ｛0，1｝ ＝ ｛Φ，｛Φ｝｝
「そして3も以下同様に求めることができる」
3 ＝ ｛0，1，2｝ ＝ ｛Φ，｛Φ｝，｛Φ，｛Φ｝｝｝
「もちろん、任意のKという数に対してもできるというわけ。つまり0を空集合と定めたことによって、0が自然数に含む形になったんだ」
「じゃあ0を含む数が自然数でいいじゃない」
「そう思いたいんだけど、プロの数学者でもこれはシビアな問題でね。結局この問題は、証明等をする際に自然数を扱う場合は0を含むか含まないかを明記すればいいことになったってわけ」
「何よそれ……」
「まあ、数学の本質はその自由性にあるからね」
「自由すぎ」
「ニャー」
こういうシビアな問題は数学の世界ではたまにある。
でも結局のところ『どっちでもいいんだよ！』で片付いてしまう。
数学の自由度マジで高すぎ。
自由度高すぎて一周回って分からなくなるのが一般人なのかもしれない。
「それでこの答えであってるか？黒ウサギ」
「はい。説明を含めて完璧な回答でした！」
これで急増加関数がレベル2になったぞ！やったね！
ちなみに、レベル2の急増加関数は以下のように定義できる。
f_2(x) = (f_1)^x(x)
つまり、どういうことかというと
(f_1)^2(x) = 2*2x = 4x
(f_1)^3(x) = 2*2*2x = 8x
よってこれを一般化すると
(f_1)^x(x) = (2^x)*x = f_2(x)
これに3を入れて計算してみると
f_2(3) = (2^3)*3 = 8*3 = 24
まだ弱い。
計算が面倒だし次からは
f_2(x) = 2^x
で近似計算する。
巨大数の世界じゃ一億だろうが無量大数だろうが変わんないだよ！（近似計算すれば割とマジ
確か次が白夜叉とのゲームだし、それでレベル3（予定）になればトラみたいなやつと戦った（予定）後には強くなってるな。
白いヘビ？今の俺じゃ十六夜についていけないし、運んで行ってもらったとしても巻き込まれたら死ぬだろ！
命は大事。
そんなことを考えていたらいつの間にか十六夜たちのゲームが終わっていた。
解せぬ。
感の言い方ならお気づきかもしれませんが急増関数レベル3は次のようになります。
f_3(x) = (f_2)^x(x)
ここで
f_2(x) = 2↑x
とします。意味的には2^xと変わりません。
(f_2)^2(x) = 2↑2↑ｘ
(f_2)^3(x) = 2↑2↑2↑x
(f_2)^x(x) = 2↑↑x = f_3(x)
これに3を入れると
f_3(3) = 2↑↑3 = 2^2^2 = 2^4 = 16
弱い
↑↑の定義は以下のようになる。
x↑↑y = x↑{x↑↑(y-1)}
x↑↑1 = x
x = y = 3 だとすると
3↑↑3 = 3↑(3↑↑2) = 3↑3↑（3↑↑1) = 3↑3↑3 ←約7.6兆
レベル4だと
f_4(3) = 2↑↑↑3 = 2↑↑2↑↑2 = 2↑↑16 ＝ 巨大数
強い（確信
もう主人公一人でいいよ。
つまり原作でいう1巻が終わるとドラゴン○ールよりすごいインフレが起きる。
レベル5になったらパソコンどころか宇宙がいくつあっても足りないレベル。
観測可能な宇宙の原子の総数が約10＾80と言われている。
一様に原子が分布していると考え、宇宙全体に考えても指数がいくつか増えるくらい。
10＾100を超えられたらいいな、というくらいである。たぶんね。
つまり何が言いたいかというと、急増加関数やばい。
ちなみに巨大数の世界ではN＞＞1が成り立つような自然数Nがあるとき
N^N ≃ N
が成り立つ。
それこそギネスに載ったグラハム数も例外ではない。